12. Affin terek

Az érintőnyalábokon megadott konnexiók értelme, hogy pótolják azt a hiányosságot, amellyel az affin terek eleve rendelkeznek: a vektorok eltolhatóságát, illetve a különböző pontokhoz tartozó érintővektorok összehasonlítását. Ha például most a téridőre, mint egy 4-dimenziós sokaságra gondolunk, akkor a pontszerű részecskék világvonalai téridőbeli görbék. A részecskék sebessége minden pontban a sokaság egy érintővektora. A gyorsulásukat viszont csak akkor tudjuk megmondani, ha valahogy össze tudjuk hasonlítani a különböző pontbeli sebességeiket. Kicsit formálisabban elmondva ugyanezt: Ha a részecskénk világvonala mondjuk a g:[0,1] → M görbe (ahol M a 4-dimenziós téridő, mint differenciálható sokaság), akkor ennek a részecskének a t₀ pontbeli sebessége a görbének a g(t₀)- beli érintővektora a

(1)

 

deriváció.

A részecske gyorsulása

(2)

 

lenne, ha lenne értelme a  különbségnek. De nincs, mivel  a T_g(t)M vektortérnek,  pedig a T_g(t0)M -nek az eleme, és különböző vektorterek elemei közt nincs értelmezve a kivonás művelete.

Ha azonban TM-en adva van egy konnexió, az azt jelenti, hogy értelmezve van tetszőleges v ∈  T_g(t0) vektornak  a g görbe mentén a T_g(t)M -be történő párhuzamos eltolása. Ha a konnexiónk lineáris, akkor ez egy Γ_g,t0,t :  T_g(t0)M →  T_g(t)M lineáris leképezés. Ha még nem elfajuló is ez a leképezés, akkor létezik a  Γ_g,t0,t^-1 :  T_g(t) → T_g(t0)M inverze is.

Ezzel már tudjuk definiálni a gyorsulást:

(3)

.

Tehát a differenciahányados számlálóját úgy számoljuk, hogy a g(t) beli sebességet a g görbe mentén párhuzamosan visszatoljuk T_g(t0) be, ahol már ki tudjuk vonni belőle a g(t₀) -beli sebességet. Látható, hogy a konnexió linearitására azért van szükség, hogy az így definiált gyorsulás a sebességnek ugyanúgy lineáris függvénye legyen, mint ahogy azt megszoktuk.

Mondanom sem kell, hogy ez abszolút gyorsulás, hiszen semmiféle koordinátákat nem használtunk a definiálásához. A konnexiót pedig Newton I. törvénye biztosítja számunkra – szintén megfigyelőfüggetlen módon. Az majd a következő kérdés lesz, hogy ilyen-olyan koordinátákkal hogy lehet ezt kiszámolni.

De egyelőre nézzük meg ezt a dolgot az affin terek esetében.

Definíció. Egy nem üres M halmazt, a V vektortér feletti affin térnek nevezünk  ha M elemei között értelmezve van a kivonás művelete, vagyis adva van egy  M x M → V,  (x,y) → x – y leképezés amelyre

1. tetszőleges o ∈ M esetén az O_o: M → V , x → x – o leképezés bijektív
2. (x–y) + (y–z) + (z–x) = 0.

Az n-dimenziós affin tereket sima sokaságoknak is tekinthetjük, ha atlasznak az affin koordinátákat tekintjük, vagyis V tetszőleges {e_i} bázisához és M tetszőleges o pontjához azt a Φ: M → Rⁿ, p → {x¹,…xⁿ} térképet választjuk, amelyre

(4)

.

 

A topológiát az a feltétel egyértelműen definiálja M-en, hogy ezek a térképek homeomorfizmusok legyenek (ez az affin terek ú.n. természetes topológiája).

A fenti módon sima sokaságnak tekintett affin terekben egy g görbe érintővektorát egyrészt ugyanúgy definiálhatjuk, mint bármilyen sima sokaság esetén (vagyis az (1) képlettel), másrészt definiálhatjuk a

képlettel is, hiszen affin terek esetén a kivonásnak van értelme a számlálóban, és a valós számmal való osztásnak is.

Az így definiált g'(t) a V vektortér eleme, nem pedig egy deriváció, mint .
Az, hogy g‘(t) t-től függetlenül ugyanannak a V vektortérnek az eleme, számunkra örvendetes, mert ha az így definiált érintővektort tekintjük sebességnek, akkor a használhatatlan (2) képletben  helyett g‘-t írva az máris használhatóvá válik:

(5)

 

A kétféle érintővektor közti kapcsolat:

.

A kétféle érintővektor azonosíthatósága azt jelenti, hogy az affin tér struktúrája meghatározza az érintőnyalábjának egy természetes konnexióját.