54. Amikor 2=0, avagy élet a komplex számokon túl

Soha ne bízzuk el magunkat!

Kevés olyan területe van a matematikának, amiben magabiztosnak érzem magam. Csak vendég vagyok a matematika csodálatos katedrálisában, de sajnos olyan vendég, aki azokról a dolgokról sem mindig veszi észre, hogy mik is valójában, amikbe nap, mint nap belebotlik. Ilyenek a vektorterek. Bármikor el tudom mondani a vektortér definícióját és minden olyan egyéb dolgot is, ami a vektorterek teljes megértéséhez kell: algebrai struktúrák, algebrai műveletek és tulajdonságaik, csoport, test, lineáris és multilineáris formák, altérháló, satöbbi. Tudom jól, hogy a vektortér egy kommutatív csoport és egy test együtt plusz a test és a csoport elemei között definiált “skalárral való szorzás” művelete, amely bizonyos szabályoknak eleget tesz a másik három műveletre nézve. Vektortér nélkül megmoccanni sem lehet sem a fizikában, sem a matematika semmilyen területén, amelynek köze van a fizikához. Olyan, mint az ábécé, vagy az egyszeregy. Engem a minap mégis meglepett.

Találtam egy jó könyvet, Gruenberg és Weir lineáris geometriáját. Nagyon jó könyv annak ellenére, hogy néha szokatlan jelöléseket alkalmaz. Ajánlom mindenkinek, aki az affin- és projektív geometriával szeretne megismerkedni. Én már majdnem meg is ismerkedtem velük. Szóval, olvasgatom a könyvet. A másfél-lineáris formák tanulmányozása közben valamiért visszalapozok a 99. oldalra és hirtelen ez ötlik a szemembe: Feltételezzük, hogy az test karakterisztikája nem 2, ekkor tehát . Tök jó. Én soha sem gondoltam volna, hogy is lehet. Hát persze, mert nem matematikus vagyok. Hiába tudok tökéletesen minden definíciót, számomra a vektortér az, ami a fizikában és a hozzá szorosan kapcsolódó matematikában előfordul: a valós, vagy komplex számtest feletti véges, vagy végtelen dimenziós vektortér. Tudom a test definícióját, mégis én csak úgy gondolok a testre, hogy az valami olyasmi, mint amilyenek a valós, vagy a komplex számok. Pedig nem feltétlenül. Például van olyan test, amelyikben , vagyis amiben . Sőt minden véges testben szükségszerűen előfordul, hogy 1-et (vagyis a multiplikatív egységelemet) valahányszor önmagával összeadva -t (vagyis az additív egységelemet) kapunk. Azt a legkisebb számot, amire ez teljesül a test karakterisztikájának nevezik. Ha semmilyen számra nem teljesül, akkor a karakterisztikát -nak mondják. A karakterisztika mindig prímszám. Mutatok is egy testet, amelyikben : a kételemű Galois-test.

Szóval vigyázzunk, tetszőleges vektortérben -ból nem következik !